문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 게이지 장 (문단 편집) === 디랙 방정식에서의 게이지 변환 === 단순히 [math(\displaystyle \lambda = -\frac{e}{\hbar} \Lambda)]로 놓는 것만으로도 위의 복잡한 우변이 갖는 거의 대부분의 항들이 전부 소거가 되고 게이지 불변성이 나타났었다. 이제 '''자연 단위계를 적용하여 [math(\displaystyle c = 1, \hbar = 1 (\mu_0 = 1))]로 가정한다.'''[* 이런 단위계를 자연 단위계(natural system)이라고 부른다.][* 적당한 단위 변환으로 충분히 가능한 일이다. 이렇게 하면 「길이 단위」= 「시간 단위」 = 「질량 단위」^-1(=「에너지 단위」^-1 = 「운동량 단위」^-1가 되는데, 질량 단위만 생각하는 게 편하다)가 된다. 나중에 다른 단위계(예를 들어 SI 단위계)에서 값을 구하고 싶으면 그 물리량이 뭔지에 맞춰 [math(\displaystyle c)]와 [math(\displaystyle \hbar)]를 살리면 그만이다. 예컨대 시간을 나타내는 물리량 [math(\displaystyle T)]는 이 단위계에서 길이와 단위가 같은데, 나중에 [math(\displaystyle T/c)]라고 붙여 시간 단위를 갖게 만들면 SI 단위계에서의 값을 계산할 수 있다.]. [[상대성 이론]]에 따라, 4-포텐셜을 [math(\displaystyle A^0 = \phi / c)], [math(\displaystyle A^i = \mathbf{A}_i)]로 표기하고 [math(\displaystyle F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)]로 표기하면 맥스웰 방정식은 다음과 같이 써진다. [math(\displaystyle \partial_\mu F^{\mu \nu} = j^\nu, )] [math(\displaystyle \partial_\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} + \partial_\lambda F_{\mu \nu} = 0.)] 여기서 [math(\displaystyle j^\nu)]는 4차원 전류 벡터로 0번째 성분은 [math(\displaystyle c \rho)], 즉 정지 전하 밀도이고 나머지 세 성분들은 3차원에서 전류 밀도 벡터 [math(\displaystyle \mathbf{j})]에 해당한다. 또한 [math(\displaystyle F_{\mu \nu})]가 갖는 6개의 독립 성분들은 사실 [math(\displaystyle \mathbf{E})]의 성분들과 [math(\displaystyle \mathbf{B})]의 성분들로 구성되어 있다. 이들을 대입하여 정리하면 맥스웰 방정식 중 [math(\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho / \epsilon_0)]와 [math(\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} - \frac{1}{c^2} \partial \mathbf{E} / \partial t = \mu_0 \mathbf{j})]가 첫 번째 방정식에 포함되며 나머지 두 방정식 [math(\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0)]과 [math(\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} + \partial \mathbf{B} / \partial t = 0)]은 두 번째 방정식에 포함됨을 안다. 한편, 위에서 썼던 게이지 변환은 다음과 같이 한 줄로 요약된다. [math(\displaystyle A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \Lambda.)] 이 변환이 이루어지면 다음을 얻을 수 있다. [math(\displaystyle F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \to \partial_\mu (A_\nu + \partial_\nu \Lambda) - \partial_\nu (A_\mu + \partial_\mu \Lambda) = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu \nu}.)] 즉, 게이지 변환을 해도 [math(\displaystyle F_{\mu \nu})]는 변하지 않는다. 이것은 사실 [math(\displaystyle F_{\mu \nu})]가 (게이지 변환에도 변하는 않는 값들인) [math(\displaystyle \mathbf{E})]와 [math(\displaystyle \mathbf{B})]로 구성되어 있다는 사실로부터 당연하다. 이제 상대성 이론 아래에서 전하를 가진 입자가 양자역학적으로 어떻게 기술되는가를 살펴 보자. 디랙 장을 [math(\displaystyle \psi)]라고 표기하자. 그러면 질량 [math(\displaystyle m)]을 가지는 자유 입자에 대한 디랙 장의 디랙 방정식은 다음과 같이 표현된다. [math(\displaystyle i\gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0.)] 여기서 [math(\displaystyle \gamma^\mu)]는 디랙 행렬이다. 그리고 이 방정식에 대한 액션은 다음과 같다. [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m ) \psi d^4 x.)] 여기서 [math(\displaystyle \bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0)]이다. [math(\displaystyle \bar{\psi})]에 대한 변분을 취해 주면 디랙 방정식이 나온다는 것이다. 이것은 자유 입자에 대한 액션이다. 이러한 액션은 사실 1/2-스피너(spinor)[* [[상대성 이론]]에서 물리적으로 의미 있는 양은 스칼라, 벡터, 텐서뿐이라고 했었다. 그런데 사실 더 있는데, 그것이 바로 스피너이다. 로렌츠 변환을 표현하는 다른 방법을 통해 보면 스칼라, 벡터, 텐서 뿐만 아니라 스피너도 있다는 사실을 알 수 있다. 사실 로렌츠 변환을 표현하는 방법들(representation)은 모두 분류가 되어 있으며 각각 반정수(0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...)가 붙어 있는데, 0은 스칼라, 1은 벡터, 정수 n은 인덱스 수가 n개인 텐서에 해당하는 반면 나머지 정수가 아닌 반정수들에는 스피너들이 할당되어 있다. 그리고 이들 각각 물리량으로 표현되는 장들이 존재한다. 정수 번호가 붙은 물리량으로 표현되는 장들은 '''보존 장'''이라고 불리우며 정수가 아닌 반정수 번호가 붙은 물리량(스피너)으로 표현되는 장들은 '''페르미온 장'''들로 불리운다. 눈치챘겠지만, 이들 번호가 각 장을 양자화하여 얻은 입자들의 스핀에 해당한다. 그리고 상대론적 양자장론에 따르면 (스칼라, 벡터, )텐서로 표현되는 장은 보즈-아인슈타인 통계를 따르며 스피너로 표현되는 장은 페르미-디랙 통계를 따른다는 것도 보일 수 있다.]로 불리우는 물리량으로 표현되는 자유 장으로 구성되는 스칼라들 중에서 가장 작은 것들을 모아둔 것이다. 즉, 전자기장의 경우에서 봤듯이 '''로렌츠 불변성을 요구하였을 때 튀어 나오는 디랙 장의 액션'''에 해당한다. 비상대론적인 가정에서 라그랑지언의 특성은 계의 라그랑지언이 물리량의 특성들에 따라 여러개로 쪼개짐[* R. P. Feynman, Phys. Rev., 80, 440(1950).]을 시사하고, [[상대성 이론]]에서도 거시적인 영역에서의 입자를 다뤘을 때 그 액션또한 다음과 같이 쪼개짐을 봤었다. '''총 액션 = (입자 만의 액션) + (입자-전자기장의 커플링 액션) + (전자기장 만의 액션).''' 위에 적은 디랙 방정식의 액션은 입자 만의 액션에 해당된다. 전자기장만의 액션은 [math(\displaystyle \int -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} d^4 x)]임을 안다. 그러면 이제 입자-전자기장의 커플링 액션이 무엇인지만 알면 되는 것이다. 그런데 거시적인 입자의 경우에서 우리는 이 액션이 다음과 같이 표현되었던 것을 봤었다. [math(\displaystyle \int -A_\mu j^\mu d^4 x.)] 단, 쟁점은 디랙 장에 있어서 [math(\displaystyle j^\mu)]가 무엇이냐는 것이다. 그런데 [math(\displaystyle j^\mu)]는 어떤 전하 혹은 물질의 흐름 밀도이므로 디랙 장의 흐름 밀도와 비례하는 것으로 가정한다면, 디랙 장의 흐름은 [math(\displaystyle \bar{\psi} \gamma^\mu \psi)]임을 보일 수 있다. 디랙 장에 해당하는 입자의 전하를 [math(\displaystyle e)]라고 두면 이 액션 항을 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\displaystyle \int -A_\mu (e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi) d^4 x. = \int -e \bar{\psi} \gamma^\mu A_\mu \psi d^4 x.)] 이것을 대입하면 총 액션이 다음과 같음을 알 수 있다. [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m ) \psi - e \bar{\psi} \gamma^\mu A_\mu \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} d^4 x.)] 만약 [math(\displaystyle D_\mu = \partial_\mu + ie A_\mu)]로 표기하면 위 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} ( i \gamma^\mu D_\mu - m ) \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} d^4 x.)] 이 액션이 다름 아닌 '''양자전기동역학(QED)의 액션'''이다. '''이 액션(과 양자장론의 프레임)을 이용해 거시 세계부터 미시 세계까지 모든 전자기적 현상을 설명할 수 있다!'''[* 물론 다른 장들의 역할이 두드러질 정도로 높은 에너지 영역에서는 이야기가 달라진다. 거기서부턴 '''[[표준모형]]의 영역'''이다.] 소개가 길었는데, 이제부터 보일 것은 디랙 장의 게이지 변환이 어떻게 일어날 것인가 하는 것이다. 먼저 이 액션으로부터 운동 방정식을 얻어야 한다. [math(\displaystyle \bar{\psi})]에 대한 변분을 취해주면 다음 방정식을 얻는다. [math(\displaystyle i \gamma^\mu D_\mu \psi - m \psi = i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma^\mu A_\mu \psi - m \psi = 0.)] 관건은 게이지 변환 [math(\displaystyle A_\mu \to A'_\mu = A_\mu + \partial_\mu \Lambda)]을 취했을 때 [math(\displaystyle \psi)]가 어떻게 변환되어야 물리가 바뀌지 않을까, 즉 저 방정식이 그대로 유지될까 하는 것이다. 슈뢰딩거 방정식의 경우에서 봤듯이 [math(\displaystyle \psi>)]는 [math(\displaystyle \psi' = e^{i\lambda} \psi)]와 같이 변해야 할 것이다. 이것을 대입해서 정리해 보자. [math(\displaystyle i \gamma^\mu \partial_\mu \psi' - e \gamma^\mu A'_\mu \psi' - m \psi')] [math(\displaystyle =i \gamma^\mu \partial_\mu ( e^{i\lambda} \psi ) - e \gamma^\mu ( A_\mu + \partial_\mu \Lambda ) ( e^{i\lambda} \psi ) - m ( e^{i\lambda} \psi ))] }}} [math(\displaystyle =e^{i\lambda} i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e^{i\lambda} \gamma^\mu ( \partial_\mu \lambda ) \psi - e^{i\lambda} e \gamma^\mu A_\mu \psi - e^{i\lambda} \gamma^\mu ( e \partial_\mu \Lambda ) \psi - e^{i\lambda} m \psi)] [math(\displaystyle =e^{i\lambda} ( i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma^\mu A_\mu \psi - m \psi ) - e^{i\lambda} \gamma^\mu ( \partial_\mu \lambda + e \partial_\mu \Lambda ) \psi)]. 슈뢰딩거 방정식의 경우와 비교했을 때 훨씬 간단하게 해결되었다. 게이지 변환에 대하여 방정식이 바뀌지 않으려면 위에서 얻은 결과가 항상 0이어야 한다. 위 마지막 결과에서 첫 번째 항은 게이지 변환이 되기 전 운동 방정식에 해당하는 것으로 0이 된다. 따라서 다음이 0이어야 한다는 것을 얻을 수 있다. [math(\displaystyle \partial_\mu \lambda + e \partial_\mu \Lambda = 0)]. 이로부터 다음을 얻는다. [math(\displaystyle \lambda = -e \Lambda.)] [* 상수 차이는 사실 보통의 위상 변화에 해당하는 것이어서 무시할 수 있다.] ([math(\displaystyle \hbar = 1)]이라고 놓은 것을 감안하면) 정확하게 슈뢰딩거 방정식에서 얻었던 것과 같은 결과를 얻었다. 물론 디랙 방정식은 고전적인 영역에서 슈뢰딩거 방정식으로 근사가 된다. 이로부터 위에서 얻었던 그 결과가 결코 우연이 아님을 알 수 있다. 결국 정리하자면 게이지 변환은 다음과 같다. [math(\displaystyle \psi \to e^{-ie \Lambda} \psi, )] [math(\displaystyle A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \Lambda.)]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기